PARAMETRES ORBITAUX |
Ce cours est capital pour les
applications, car il conditionne le positionnement et le repérage précis d'un
satellite d'une sonde ou d'une planète.
L'idée générale, pour
introduire les paramètres orbitaux, est de considèrer à un instant t fixé le
satellite comme correspondant à la donnée:
D'un solide (C) qui n'est
autre que la trajectoire supposée solidifiée, son repérage nécessite donc
De donner un "top"
c'est à dire un instant initial et une position initiale à partir de laquelle,
on peu déduire toutes les autres positions. Il faudra donc 2 autres paramètres,
un angle et un temps.
Au total les paramètres
orbitaux seront au nombre de 6 plus un temps initial.
I DEFINITION DES VECTEURS FONDAMENTAUX :
Le tir étant réalisé, nous
appelons :
Les conditions initiales à l'instant to: |
|
Au point courant à l'instant t |
Le mouvement képlérien
possède des intégrales premières vectorielles remarquables, qui
s'expriment naturellement avec le rayon vecteur et le vecteur vitesse.
1°) MOMENT CINETIQUE REDUIT h:
Nous avons déjà établi la
constance du vecteur
Ce vecteur h
donne par son module la constante des aires K, il oriente le sens du mouvement
et donne la direction du plan orbital.
Curieuse construction pour
ce vecteur, puisqu'on pose:
On commence par démontrer
que ce vecteur est constant, en calculant sa dérivée.
Ensuite, nous montrons que,
puisque ce vecteur est constant le long de la trajectoire, on peut le calculer
en tout point et en particulier au périgée P de l'orbite. Nous conservons les
notations P, Q, W pour le repère périfocal et rp pour le rayon
vecteur.
Donc le vecteur e, par sa norme fournit l'excentricité de
l'orbite, mais surtout il donne l'unitaire P qui "pointe" le périgée,
c'est la principale utilité du vecteur excentricité, de désigner la direction
du périgée.
Le vecteur nodal n se définit par |
Ce vecteur n'existe que
pour les orbites non équatoriales. Le vecteur n a la
propriété de "pointer" le nœud ascendant de l'orbite,
puisqu'il appartient au plan équatorial et au plan orbital.
II
DEFINITION DES PARAMETRES ORBITAUX :
La figure ci-dessous
illustrera la définition des paramètres orbitaux pour les orbites
circumterrestres, non équatoriales et non circulaires.
1°) REPERAGE DU PLAN ORBITAL :
Nous savons qu'avec une
excellente approximation, le plan équatorial terrestre est fixe dans le repère
inertiel IJK. Le plan orbital coupe le plan équatorial suivant une droite
appelée LIGNE DES NOEUDS.
Ces 2 points
sont importants dans les applications pratiques, parce que d'une part nous
verrons que c'est le lieu des corrections d'inclinaison, mais également ils
délimitent, pour les pays de l'hémisphère nord, la zone utilisable.
NB : Des définitions équivalentes
pourront être données, des paramètres orbitaux ou des vecteurs fondamentaux,
pour le repère héliocentrique écliptique ou tout autre repère planétocentrique.
Ce n'est que par habitude que nous les fournissons dans IJK.
a ) Longitude vernale W ou heure sidérale de la ligne des
nœuds :
On appelle W l'angle, mesuré positivement autour de K, entre
l'unitaire I et le vecteur nodal n. Conventionnellement, il est exprimé entre
0° et 360°.
Cet angle conditionne
naturellement le positionnement du plan orbital par rapport à l'espace inertiel
environnant. Donc tout naturellement, comme le soleil est mobile dans cet
espace, W et le temps interviennent dans les
problèmes d'éclairement des panneaux solaires et la gestion de l'énergie.
Le calcul de W est simple, si on lui adjoint une test à ne pas
oublier.
On appelle inclinaison de
l'orbite l'angle i, mesuré entre 0° et 180°positivement autour le l'axe n,
entre le plan équatorial et le plan orbital. C'est encore l'angle entre les
normales aux 2 plans, donc entre K et h (ou W).
Le calcul donne sans
difficulté ;
Nous le verrons plus loin,
mais à l'évidence plus l'inclinaison orbitale est forte, plus on peut survoler
des latitudes élevées.
Quelques valeurs
classiques :
I = 0° Orbite équatoriale,
le plus souvent l'orbite géostationnaire.
I = 28° Inclinaison
habituelle des orbites des vols Navette US
I = 63°.4 Inclinaison orbitale fréquemment utilisée par les satellites soviétiques, car c'est une valeur qui leur permet de pallier une perturbation due à J2, celle affectant le paramètre orbital w.
I = 90° Orbites polaires
notamment pratiquées par les satellites météorologiques en orbite basse, leur
permettant de suivre 15 fois par jour les masses d'air polaire.
I =98°.7 Inclinaison
choisie par les satellites de la famille SPOT, gravitant vers 822 km du sol,
travaillant en imagerie spatiale et utilisant grâce à une valeur bien choisie
de i, la propriété d'héliosynchronisme. Vu du nœud ascendant le satellite
se déplace vers l'ouest, contrairement à 90% des satellites.
I = 5° Sensiblement
l'inclinaison de l'orbite lunaire
I = 23° 27' Inclinaison de
l'orbite décrite par le soleil vu de la terre, avec passage au nœud ascendant
au moment du printemps.
Autres figures tirées
d'un site NASA( Excusez la copie, mais elles sont belles) :
2°) REPERAGE DU GRAND
AXE DANS SON PLAN :
On appelle w ARGUMENT NODAL DU PERIGEE, l'angle orienté des vecteurs n et
e mesuré positivement entre 0° et 360° autour de l'axe W.
Par exemple, les
tirs Ariane vers l'orbite GTO, font en sorte que w = 180°, afin de garantir un périgée sur
l'équateur et donc aussi un apogée sur l'équateur, pour faciliter la manœuvre
d'apogée.
3°)
PARAMETRES DE FORME DE L'ORBITE :
On retient les paramètres
classiques a et e, déjà rencontrés, le signe dans la relation donnant a dépend
de la conique (ellipse ou hyperbole).
4°) PARAMETRE DE POSITION SUR L'ORBITE :
Le dernier des paramètres
orbitaux, est en fait constitué de deux données, une position sur l'orbite et
un temps correspondant à cette position. Les choix sont variables en fonction
du problème traité.
L'anomalie
moyenne Mo=jo-esinjo
A propos de la date : Vous retrouverez souvent cette remarque : La date peut être explicite ( du genre 10 octobre 1999 à 01 h 46 mn 34 s ), mais comme tous les pays du globe n'ont pas le même calendrier, les scientifiques se sont mis d'accord sur un calendrier où la date est repérée sur un axe par une coordonnée. C'est le Calendrier Julien, où la date décimale en jours 0,00000000000 est le 01/01/2000 à 12 h 00 mn 00 s. Deux routines sont fournies permettant la conversion date calendaire à date julienne et réciproquement: ( Voir Routines) DATEJULI.EXE et DATE_CAL.EXE
Exemple : le 10 octobre 1999 à 01 h 46 mn 34
s est le jour julien - 83.42599537
REMARQUES :
Il existe 2 autres dates
juliennes:
La DATE
JULIENNE MODIFIEE ( MJD en anglais) avec le jour 0 le 1/1/2000 à 0 H
La DATE
JULIENNE ANCIENNE, avec le 1/1/2000 12 h qui est JJ = 2451545.5
La routine DATE_CAL.EXE
prend en charge ces 3 formats.
CALCUL DE L'ANOMALE
VRAIE EN FONCTION DE L'ANOMALIE MOYENNE M :
Lorsque le temps écoulé
depuis le passage au périgée est connu, l'anomalie moyenne M est aussi connue
par
Vous trouvez ci-dessous un
développement qui donne d'excellents résultats pour les orbites d'inclinaison
faible :
Par exemple pour une
excentricité de 0.25 la précision n'est que de 0.001 alors que pour la terre e
= 0.0167 elle est de 10-8. Donc à utiliser avec prudence.
CONCLUSIONS: |
|
Paramètres Orbitaux : |
Le lecteur ou l'étudiant
chargé d'un projet devrait lire avec intérêt cette autre vision du calcul des
paramètres orbitaux.
Il existe, dans l'espace
vectoriels R6,
une relation
biunivoque entre le vecteur la position-vitesse X(t) et celui Y(t) des
paramètres orbitaux.
Montrons rapidement les
calculs :
a) Demi grand axe:
point de vue connu, voir plus haut
b) Excentricité : point
de vue connu, voir plus haut
c) Angle polaire q :
Nous adressons à la vitesse
et ses composantes en polaires sur le radial u et l'orthoradial v :
d) Calcul de W et i : pour i c'est une variante du
calcul vu plus haut
Tout repose, le lecteur s'en
convaincra sur les composantes absolues du moment cinétique h:
on obtient donc :
et
e) Calcul de w :
Le lecteur achèvera sans
peine le calcul, en exprimant le rayon vecteur grâce à l'angle w+q mesuré à partir de la ligne des nœuds.
6°) Exemple de
bulletin prévisionnel:
ISS TRAJECTORY DATA
Lift off time (UTC) : N/A
Area (sq ft) : 7150.0
Drag Coefficient (Cd) : 2.36
90 day mean solar flux (jansky) : 179.0
12 month mean earth geomagnetic index : 2.35
Maneuvers contained within the current ephemeris are as follows:
IMPULSIVE TIG (GMT) M50 DVx(FPS) LVLH DVx(FPS) DVmag(FPS)
IMPULSIVE TIG (MET) M50 DVy(FPS) LVLH DVy(FPS) Invar Sph HA
DT M50 DVz(FPS) LVLH DVz(FPS) Invar Sph HP
------------------------------------------------------------------------
There are no maneuvers.
Coasting Arc #1 (begining on orbit 1076)
---------------------------------------
Vector Time (GMT): 2001/319/19:37:39.000
Vector Time (MET): N/A
Weight (LBS) : 301906.0
M50 Cartesian M50 Keplerian
----------------------------------- --------------------------------
X = 3657454.44 A = 6767924.41 meter
Y = 5468070.10 meter E = .0018118
Z = 1538187.72 I = 51.85850
XDOT = -4807.069245 Wp = 29.16855
YDOT = 1583.781659 meter/sec RA = 45.64221 deg
ZDOT = 5786.894293 TA = 347.65879
MA = 347.70310
Ha = 211.536 n.mi
Hp = 203.743
M50 Cartesian J2K Cartesian
----------------------------------- --------------------------------
X = 11999522.43 X = 3588581.44
Y = 17939862.54 feet Y = 5508573.10 meter
Z = 5046547.64 Z = 1555792.65
XDOT = -15771.224558 XDOT = -4852.535657
YDOT = 5196.134052 feet/sec YDOT = 1529.787577 meter/sec
ZDOT = 18985.873664 ZDOT = 5763.425396
The mean element set is posted at the UTC for which position is
just north of the next ascending node relative to the above
vector time
TWO LINE MEAN ELEMENT SET ( Voir un cours dédié à l'explication )
ISS
1 25544U 98067A 01319.87879512 .00057998 00000-0 70152-3 0 9009
2 25544 51.6359 45.8276 0009968 339.7333 20.3426 15.61163421 10778
Satellite: ISS
Catalog Number: 25544
Epoch time: 01319.87879512 = yrday.fracday
Element set: 900
Inclination: 51.6359 deg
RA of node: 45.8276 deg
Eccentricity: .0009968
Arg of perigee: 339.7333 deg
Mean anomaly: 20.3426 deg
Mean motion: 15.61163421 rev/day
Decay rate: 5.79980E-04 rev/day^2
Epoch rev: 1077
Checksum: 336
NB1 : Les paramètres orbitaux
concernent aussi les planètes en référentiel héliocentrique, on pourra voir le site NASA dédié, pratique sous un format .TXT ou lire le tableau
ci-après.
III CALCUL DES DES VECTEURS P, Q,
W DANS IJK :
1°) Calcul des composantes :
Dans les études numériques, il est
indispensable de passer de la base absolue à d'autres bases et en particulier,
dans la base PQW du repère périfocal.
Le lecteur réalisera les calculs
classiques qui donnent les composantes de P, Q, W dans I, J, K.
2°)
MATRICE DE PASSAGE DE ( IJK ) à ( PQW ) :
Le lecteur se convaincra, en utilisant
ses connaissances en algèbre linéaire que la matrice de passage P de la base
IJK à la base PQW vaut :
Naturellement la matrice de passage
inverse est la transposée de P:
P-1 = tP.
Avec
les résultats du cours sur l'utilisation
de l'anomalie excentrique, on a :
Le lecteur pourra aussi s'exercer à redémontrer
les relations ci-dessus:
Et naturellement avec la chronologie
:
On obtient alors les coordonnées du
satellite dans le repère associé à J2000.
LOCALISATION SATELLITE :
Un satellite a été lancé à une date
to, sous les conditions de tir fournies par le rayon vecteur et la vitesse
initiale.
Où se trouve t-il à la date t ?
Le tableau logique ci-dessous résume
la chaîne des calculs à faire
avec le lien t --> j
On obtient alors les coordonnées du
satellite dans le repère inertiel associé à J2000.
IV PARAMETRES ORBITAUX EN GENERAL:
Le lecteur s'intéressera
certainement à de voyages interplanétaires et donc également aux planètes et à
divers astéroïdes du système solaire.
Il sera donc amené à utiliser des
éphémérides du BDL ou des logiciels spécialisés.
Pour ne pas être dérouté par la
nomenclature associée au repérage, il vaut mieux poser les bases d'une bonne
compréhension.
NB 1 :Le lecteur qui rencontrera la notation le code TLE ( Two Lines Elements) pour un satellite, pourra en trouver les explications soit sur ce site soit en allant consulter http://perso.infonie.fr/f6gry/tlebis.htm
Sur le site même : voir EXPLICATIONS DU CODE TLE
NB 2 : Pour les radioamateurs une autre forme de présentation existe dite de l'AMSAT ( association de radioamateurs) voir CODE TLE
Un repère de travail ( FRAME en
anglais ), géocentrique ou héliocentrique, est toujours défini par 2
éléments :
Un axe fixe de référence, le premier
axe I appelé une EQUINOXE , c'est à dire un axe pointant depuis le centre du
soleil la position de la Terre à l'équinoxe d'automne ou pointant depuis la
Terre la position du Soleil à celle de printemps. C'est la fameuse ligne g dont nous avons déjà parlé, encore appelée ligne
vernale.
Un plan de référence, contenant
cette ligne, soit un équateur terrestre soit l'écliptique.
Naturellement ces 2 éléments sont
choisis à une date bien déterminée, généralement en calendrier julien.
a.
REPERE
DIT FIXE :
On se donne une date julienne, par
exemple 01/01/2000 12 h, le repère sera J2000 avec équinoxe et écliptique (
équateur ) de 2000.
b.
REPERE
DIT MOYEN :
Ce repère est défini par l'équinoxe
moyenne et le plan de référence moyen ( écliptique ou équateur ) de la date des
éphémérides. Un tel choix doit prendre en compte le mouvement de précession du
repère en fonction de la date.
c.
REPERE
DIT VRAI :
Ce repère est défini avec l'équinoxe
vraie et l'équateur terrestre exacts de la date de calcul des éphémérides ou
l'équinoxe vraie et l'écliptique moyen de la date de calcul des éphémérides.
Dans ce cas les mouvements de
précession de l'équinoxe et de nutation de l'axe de la terre sont pris en
compte.
2°) AUTRES PARAMETRES ANGULAIRES:
Le lecteur a bien évidemment déjà
réalisé que les définitions données en début de cours pouvaient présenter des
singularités et des indéterminations dans certains cas : Orbites d'inclinaison
nulle ( W n'existe plus ), orbites
circulaires ( w n'a plus de sens ), etc...
Sans entrer dans ce paragraphe dans
trop de détails, donnons le panel des paramètres couramment utilisés pour
pallier certaines de ces difficultés.
DEFINITIONS : A l'évidence, pour les angles, on
pourra se souvenir :
Qu'une longitude se mesure toujours à partir d'une équinoxe ( oubliez la
longitude Greenwich des terriens ) .
Qu'une latitude est mesurée sur un méridien, à partir du plan de
référence.
Qu'un argument se mesure à
partir d'une ligne des nœuds.
NOMENCLATURE DE PARAMETRES
ANGULAIRES :
Surtout, on n'oubliera pas que
quelquefois un angle est la somme d'angles se mesurant dans des plans différents
( noté en rouge avec *)
Longitude
écliptique |
Même définition que pour la terre |
Latitude
écliptique |
id |
Anomalie
excentrique ( rappel ) |
j |
Anomalie
moyenne (rappel ) |
M = j - e sinj |
Anomalie
vraie (angle polaire ) |
q |
Longitude
nodale ou Heure sidérale du nœud ascendant |
W |
Longitude*
du périhélie (périgée) |
W + w |
Longitude*
moyenne du corps |
W + w + M |
Longitude vraie* du corps |
W + w + q |
Argument
nodal du périgée |
w |
Argument de latitude du corps |
w + q |
3°) RESTITUTION
D'ORBITE AUTOMATIQUE :
La maintenance d'un satellite, c'est
à dire le respect des spécifications de la mission, exige à intervalles
réguliers une restitution d'orbite. Cette opération consiste à l'aide de
mesures effectuées au sol ou à bord, à estimer au mieux les paramètres orbitaux
à une date fixée. La connaissance de ces paramètres orbitaux osculateurs permet
de prévoir d'éventuelles opérations de contrôle d'orbite, en particulier.
Actuellement, pour nombre
d'applications classiques, il se développe des systèmes automatiques de
restitution d'orbite à bord, en temps réel.
Il en est ainsi du système DIOGENE
( Détermination Immédiate d'Orbite par GPS et Navigateur Embarqué ), développé
par le CNES, qui utilise les mesures de pseudo-distance et de pseudo-vitesse
d'un récepteur GPS de Sextant Avionique. Il peut équiper à partir de 1998 tout
satellite en orbite basse au dessus de 600 km et les géostationnaires. Une
précision de positionnement de 10 m et de 1 cm/s sur la vitesse sont possibles.
On a donc une restitution d'orbite en temps réel. DIOGENE est même capable de
gérer les erreurs de poussée commises lors des corrections de trajectoires.
De même pour DIODE système développé
par Dassault Avionique ey utilisant la mesure Doppler DORIS. Toutes les 10
secondes une prédiction de position est effectuée par filtrage de Kalman, avec
une intégration par Runge-Kutta ordre - des équations du mouvement prenant en
compte le potentiel terrestre développé à l'ordre 40, les actions perturbatrices
luni-solaire et la pression de radiation solaire. La précision de position sur
orbite atteint le mètre.
Le lecteur pourra trouver sur le
site de nombreuses routines, permettant les calcul des vecteurs fondamentaux ou
des paramètres orbitaux.
Voir Routines
a.
Exécuter
RV_PAR_W.EXE générale pour tout centre attirant, RV_PAR_S.EXE spécialement dédiée aux trajectoires héliocentriques( S
indique Soleil ).
Voici ce qui est demandé
et qui correspond à une GTO classique Tir le 10 mars 2006 à 12 h |
|
Voici le résultat pour les paramètres orbitaux |
|
b) Exécuter VECTFOND.EXE pour déterminer les vecteurs fondamentaux connaissant les
vecteurs position et vitesse.
Pour la même orbite qu'en a)
Voici ce qui est demandé et qui correspond à une GTO classique |
|
Voici le résultat pour les vecteurs fondamentaux e, n, h. |
NB : Paramètres orbitaux de la Station Spatiale Internationale ( ISS ), voir CODE TLE
Satellite: ISS
Catalog Number: 25544
Epoch time: 01320.83895832 =
yrday.fracday (320.83895832 jours fractionnaire de 2001,)
Element set: 901
Inclination: 51.6362 deg
RA of node: 40.9891 deg ( Ascension
droite du nœud ascendant, longitude vernale W )
Eccentricity: .0010255
Arg of perigee: 344.5090 deg (
Argument nodal du périgée w )
Mean anomaly: 15.5751 deg ( Anomalie
moyenne M )
Mean motion: 15.61249101 rev/day (
Moyen mouvement n en révolutions/jours )
Decay rate: 5.79980E-04 rev/day^2 (
Décroissance du moyen mouvement n en révolutions/jours2 )
Epoch
rev: 1092
Checksum:
300
5°) REPERAGE D'UN GEOSTATIONNAIRE:
DONNEES :
Pour une orbite quasi circulaire et
quasi équatoriale, l'excentricité e et l'inclinaison i sont très voisines de 0.
w et W sont très mal définis. Quand on souhaite étudier les perturbations, on
donne les paramètres adaptés suivants:
INCLINAISON |
ix
=hx = i cos W iy
=hy = i sin W |
Quasi vecteur EXCENTRICITE |
ex = e cos ( w+W ) ey = e sin ( w+W ) |
l =w+W+M |
Longitude moyenne du satellite comptée depuis la ligne vernale |
Ou aussi lm =w+W+M-lg(t) |
Longitude moyenne Greenwich |
a |
Demi grand axe classique |
Pour information que le temps est
"caché" sous M, l'anomalie moyenne.
lg(t) désigne l'heure sidérale du
méridien de Greenwich, à la date du calcul, c'est un angle que l'on peut
récupérer dans les éphémérides du BDL ( IMCCE ) ou avec une précision moindre
par la formule :
lg(t) = 280°.45692+360°.9856474*jj2000 (
mod 360°)
où JJ2000 est la date Julienne de
l'époque du calcul ( jour h mn s )
ou encore, par exemple :
JJ2000( 1/2/2006 15 h 20 mn 35 s) =
2223.1392940
CALCUL DES COORDONNEES GEOGRAPHIQUES
D'UN GEOSTATIONNAIRE :
1°) Longitude Greenwich:
Longitude = lm +2esin(M)+O(e²) ce dernier terme O(e²) étant
l'erreur commise de l'ordre de e².
Donc :
Longitude = lm +2esin(M)
2° Latitude :
Pour ce calcul, on peut confondre M j et q et donc :
Sin(Latitude) = sin( i ) * sin(M+w) = sini * sin[lm-W+lg(t)]
EVOLUTION DU TEMPS :
Comme indiqué plus haut, le temps
est donné par M.
M = n (t-tp) avec le moyen mouvement
n et tp temps de passage au périgée puisqu'il subsiste une légère excentricité
e.
EXEMPLE SUR LES SATELLITES TELECOM 2A & 2D : Allez consulter et éventuellement vérifier les calculs
GUIZIOU Robert décembre 1998, revu
décembre 2000, revu sept 2001,sept 2002, septembre 2005, novembre 2005, février
2006, septembre 2007, sept 2011